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Bei einseitiger Anwendung der bzgl. (A0)
übergeordneten dyadischen Transformation
(A1),
d.h. NUR Ersatz von ∂D
/ ∂t bzw. ∂B
/ ∂t
durch dD / dt bzw. dB / dt,
resultieren "Äpfel = Birnen" - Ungleichungen
= Grund für
Fehlschlüsse und Interpretationsfehler diverser Publikationen.
Durch beidseitige Anwendung des dyadischen Terms
(v ∇)
D bzw. (v ∇)
B auf die Feldgleichungen
der Original Maxwell Gleichungen (mit partiellen Ableitungen)
ergeben sich die erweiterten Maxwell Gleichungen in kompakter
Form (mit totalen Ableitungen):
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ACHTUNG: Durch diese dyadische Transformation bedingt ist natürlich
rot H ≠
rot H sowie rot E
≠
rot E etc. |
| BEGRÜNDUNG:
Die erweiterten Maxwell Gleichungen beinhalten neben den möglichen,
durch Bewegung
verursachten elektromagnetischen ZUSATZ-FELDERN (auf den rechten
Gleichungsseiten) auch alle
entsprechenden, denkbaren TRANSFORMATIONS-GLEICHUNGEN (auf den linken
Gleichungsseiten).
Das GRÜN
eingefärbte H
entspricht der mittransformierten magnetischen
(gestrichenen) Feldstärke H',
das ROT eingefärbte
E entspricht
der mittransformierten elektrischen (gestrichenen) Feldstärke
E' etc.
So folgt für nicht-relativistische Geschwindigkeiten v
<< Lichtgeschwindigkeit c unter Beachtung der
Nabla-Kalkül-Zerlegung (A2) und
Berücksichtigung von nur 1 von 4 möglichen Termen im
allereinfachsten Fall
die bekannte mittransformierte, translatorische
Lorentz-Feldstärke E' =
E + v x B als integrierter wichtiger
Sonderfall !
Hierbei wird E'
= E + v x B als Transformations-Gleichung,
der Term v x B als entsprechendes Zusatz-Feld
bezeichnet. |
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.
Konvention für Gl.(1a)-(4a): Dyadisch-tensorielle Transformation
zwischen Bezugssystem "in Ruhe" mit
gestrichenen Größen (und totalen zeitlichen Ableitungen)
und einem mit Geschwindigkeit v bewegten Bezugssystem
(ungestrichene Größen und partielle zeitliche Ableitungen)
(Anmerkung: In Literatur auch häufig umgekehrte "Strich"-Definition)
d D / dt =
∂ D
/ ∂
t + (v ∇) D
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Da
bei nicht-relativistischen Aufgabenstellungen (v <<
c) die Elektrodynamik
gut durch GALILEI-Transformationen approximiert werden kann und
nur in diesem Fall
der gestrichene Nabla-Operator ∇'
(z.B. Ruhe) = ungestrichener Nabla-Operator ∇
(z.B. Bewegung) ist,
gilt in den Gleichungen (1a) bis (4a) z.B. rot'
H' = rot H',
rot' E'
= rot E', div'
D' = div D'
und div' B'
= div B'.
Da bei GALILEI-Transformationen auch t'
= t , gilt analog ∂
D / ∂
t' = ∂
D / ∂ t
bzw. ∂ B / ∂
t' = ∂
B / ∂ t
etc.
Im relativistischen Fall mit v
im Bereich der Lichtgeschwindigkeit c versagt die GALILEI-Transformation,
dann sind
relativistische LORENTZ-basierte Transformationen bzw.
bekannte Korrektur-Faktoren √
(1 - v²/c²) in (1a) - (4a)
zu verwenden.
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MERKE: Es
wäre im Sinne einer invarianten Transformation natürlich
falsch,
die Maxwell Gleichungen "in Ruhe" mit ihren partiellen Ableitungen
nun einfach durch die totalen zu ersetzen,
ohne die gesamte Gl. (A1) mathematisch korrekt
auf beiden Gleichungsseiten zu berücksichtigen ! |
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Durchflutungsgesetz:
1. extended Maxwell equation
(fields)
Ampere-Maxwell's Law
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(1a) |
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Induktionsgesetz:
2. extended Maxwell equation
(fields)
Faraday-Lorentz's Law
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(2a) |
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Elektrische Quelle:
3. extended Maxwell equation
(sources)
electric Gauss' Law
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(3a) |
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Magnetische_"Quelle":
4. extended Maxwell equation
(sources)
magnetic Gauss' Law
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(4a) |
Verknüpfungs-Gleichungen
zwischen elektromagnetischen Feldgrößen B & H, D
& E, J & E aus Gl.(5)
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dyadische Nabla-Kalkül-Formulierungen
in der Vektoranalysis
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Nabla-Kalkül-Zerlegung von Vektorgradient
(v grad) B in 4 Zusatzfeld-Terme
= f ( v ) |
(v ∇)
B = ∇ x (B
x v) + v (∇ ∙
B) - B (∇
∙ v)+ (B
∇) v
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Alternative Zerlegung für
(v grad) A v.a. nützlich für
Formulierungen mit magnet. Vektorpotentialen A
in Elektrodynamik, mit Geschw. v ( = A) in
Mechanik |
∇
(A ∙
v) = (v ∇
) A + (A ∇
) v + v x ∇
x A + A x ∇
x v
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Hinweis zu (A2)
und (A3) : B kann jeder Vektor sein,
z.B. D, A etc. ... auch v
, d.h. grad (v ∙
v) v.a. in Mechanik,
Hydrodynamik etc |
Mit der für die
Mechanik, Hydrodynamik etc zentralen dyadischen Transformation
(v ∇
) v
als wichtiger Spezialfall der übergeordneten dyadischen
Transformation in der Elektrodynamik (v
∇
) X
sind alle mechanischen Beschleunigungs-Kräfte inklusive Coriolis-Kraft
und Zentrifugal-Kraft sofort ableitbar:
(Anmerkung: Dies ist eine gute Übung, um das Handling mit vektoranalytischen
Operationen zu trainieren)
MECHANIK
- Beschleunigungs-Kräfte bei translatorischen und rotatorischen
Bewegungen -
"klassische" Ableitung und kompakte (v ∇
) v - Transformation im Vergleich (PDF-File,
94 kB)
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FEHLER-Quellen,
Teil 1
"Elektrodynamik
ruhender und
bewegter Körper" |
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FEHLER-Quellen,
Teil 2
"klassische Elektrodynamik,
relativistische Einflüsse,
Quantenelektrodynamik"
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