7. Fehler-GRUND: Einige Web-Publikationen, die zwar die Gültigkeit der Maxwell Gleichungen "in Ruhe" erkannt haben, jedoch bei der Interpretation erweiterter Maxwell Gleichungen für die "Elektrodynamik bewegter Körper" bei einer "Beweisführung" mit sog. "Äpfel = Birnen" - Ungleichungen mathematisch nicht korrekt interpretieren.

Folgende einfache Überlegung soll diesen Denkfehler anhand des Induktionsgesetzes veranschaulichen:
Das Induktionsgesetz (2. Maxwell Gleichung)  rot E = - ∂ B / ∂ t  (2) ist im Fall ruhender Körper unbestritten richtig und ist seit etwa einem Jahrhundert in allen Variationen messtechnisch verifiziert. Wird bei einer beliebigen Gleichung, hier z.B. das Induktionsgesetz (2) nun - wie in einigen Web-Publikationen bzw. Literaturstellen praktiziert - nur einseitig auf der rechten Gleichungsseite ein beliebiger Term T1 ≠ 0 [ z.B. rot ( B x v) ] addiert oder subtrahiert, dann wird jede beliebige Gleichung, hier z.B. das Induktionsgesetz - mathematisch sicher FALSCH bzw. zu einer UNGLEICHUNG verfälscht !
Führen wir aber folgende Trivial-Operation - links und rechts werden dieselben Terme addiert - durch:

rot E - rot ( B x v) = - ∂ B / ∂ t - rot ( B x v) (2a),

so bleibt die Gl.(2) weiterhin richtig (Invarianz). Mathematisch einfach folgt aus Gl.(2a) zusammengefaßt:

rot ( E + v x B )      = - ∂ B / ∂ t + rot ( v x B ) (2b),

wobei in diesem speziellen SONDERFALL  E' = E + v x B  die sog. Lorentz-Transformations-Gleichung bzw. der spezielle Term v x B das durch nicht-relativistische Bewegung materieller starrer und nicht zusätzlich rotierender Körper bei gleichförmiger Geschwindigkeit v im Magnetfeld B verursachte Zusatz-Feld ist → sog. (elektrische) Lorentz-Feldstärke. Aus dem Durchflutungsgesetz (1. Maxwell Gleichung) folgt in identischer Vorgehensweise die zu E' analoge Transformations-Gleichung H' = H - v x D sowie das unter den gleichen Einschränkungen im elektrischen Feld mit der elektrischen Flussdichte
D verursachte Zusatz-Feld v x D → sog. (magnetische) Röntgen-Feldstärke [bzw. wegen rot (v x D) der Röntgen-Strom].

Dass das Induktionsgesetz Gl.(2b) mit Hilfe der Gl.(5b) und nur des rot (B x v)-Terms in Gl.(6) auch in folgender Form

rot E' =  -  ∂ B / ∂ t - (v ∇) B [ = hier nur 1. Term aus Gl.(6)] = - d B / dt    (2c)

geschrieben werden kann, ist sicher jedem Leser auch ohne vertiefte Kenntnisse der Vektoranalysis nachvollziehbar.

Einige Autoren jedoch, die zwar die "Maxwell Gleichungen in Ruhe" als richtig erkannt haben, begründen alle ihre weiteren (in ihren Augen "universellen") Schlussfolgerungen auf der nur eingeschränkt gültigen Lorentz-Transformations-Gleichung in der Form E' = E + v x B, die gültig ist für translatorische, nicht-relativistische Bewegungen ohne zusätzliche Eigenrotationen und für nicht deformierbare Körper. Diese Form der Lorentz-Transformationsgleichung ist nur ein (wichtiger) SPEZIALFALL einer übergeordneten Transformations-Gleichung (die alle "verzerrten" Bewegungsformen mit Translation, Rotation und Deformation beinhaltet) auf der Basis einer dyadisch-tensoriellen Transformation (mit X = B, D etc):

 (v ∇) X = d X / dt - ∂ X / ∂ t  (5)    bzw.   ∂ X / ∂ t = d X / dt - (v ∇) X  (5a)   bzw.   d X / dt = ∂ X / ∂ t + (v ∇) X  (5b)

zwischen 2 relativ zueinander bewegten Systemen, d.h. Bezugssystem 1 (mit  d / d t) und Bezugssystem 2 (mit   ∂ / ∂ t ).
Speziell aus Gl.(5a) wird klar, dass man bei der Erweiterung der Maxwell Gleichungen "in Ruhe" für die "Elektrodynamik (nicht-relativistisch) bewegter Körper" nicht einfach    ∂ / ∂ t    durch   d / d t    ersetzen darf, ohne nicht auch den dyadischen Term (v ∇) X geeignet zu berücksichtigen. Wird dennoch der FEHLER gemacht,    ∂ / ∂ t   durch   d / d t   auszutauschen und dann das  d / d t  einfach durch die rechte Seite von Gl.(5b) zu ersetzen,  entstehen "Äpfel=Birnen"-UNGLEICHUNGEN und Fehl-Interpretationen sind Tür und Tor geöffnet.

Mit Hilfe des vektoranalytischen Nabla-Kalküls unter Zuhilfenahme des algebraischen Entwicklungssatzes lässt sich z.B. der dyadische Term  (v ∇) X  in Gl.(5) leicht in 4 Terme aufspalten, die jede beliebige "Verzerrung" berücksichtigen (z.B. X = B):

Die Gl.(6) z.B. gilt analog auch für Feldgrößen wie D, v etc, und beinhaltet wie Gl.(7) - mit z.B. dem magnetischen Vektorpotential A - räumlich variable Bewegungen sowie als Spezialfall Eigen-Rotationen der Winkelgeschwindigkeit ω ( ∇ x v = 2 ω). Der Ausdruck v x ∇ x A in Gl.(7) entspricht wegen B = rot A ≡ ∇ x A der bekannten elektrischen Lorentz-Feldstärke E = v x B . Man beachte jedoch, dass diese Lorentz-Feldstärke nur 1 von 4 Termen ist.
Manchmal verwechseln Autoren die unterschiedlichen Wirkungen von sich auf KREIS-Bahnen mit der Bahn-Geschwindigkeit bewegenden Körpern - als Spezialfall einer translatorischen Bahn-Bewegung - mit deren (zusätzlich auch) möglichen Eigen-ROTATIONEN. Eine mnemotechnische Analogie zur Erläuterung dieses manchmal vergessenen Faktums aus der Astronomie: Die Erde (z.B. Elektron) läuft ("rotiert") um die Sonne (z.B. Atom) mit einer spezifischen Bahn-Geschwindigkeit, sie dreht sich jedoch zusätzlich auf dieser Bahn auch noch um ihre eigene Achse mit einer spezifischen Rotations-Geschwindigkeit (z.B. Spin des Elektrons). Die allgemeinste Form des Induktionsgesetzes mit nicht-relativistisch, aber beliebig "verzerrt" bewegten Körpern (translatorisch, rotatorisch und deformiert) lautet mit Gl.(2c, 5 & 6):

rot E - (v ∇) B = - ∂ B / ∂ t - (v ∇) B (2d)    bzw. in tranformierter Kompakt-Form  rot E' = - d B / d t  (2e)

wobei die zu (2d) allgemein gültige Transformations-Gleichung E' aus der linken Gleichungsseite zu bilden ist und die entsprechenden Zusatz-Felder explizit mit Gl.(6) aus der rechten Gleichungsseite von (2d) ersichtlich sind. Durch identische Ableitung bzw. Überlegung wie zu (2d, 2e) folgt auch für das Durchflutungsgesetz (1. Maxwell Gleichung):

rot H + (v ∇) D = J + ∂ D / ∂ t + (v ∇) D  (1d)  bzw.  transformierte Kompakt-Form  rot H' = J + d D / d t  (1e)

Das in der ELEKTRODYNAMIK wichtige und bekannte Zusatz-Feld der sog. Lorentz-Feldstärke E_zus =  v x B ist - nochmals explizit betont - nur 1 von 4 möglichen Termen bei einer beliebig verzerrten Transformation - wie aus rechter Seite von Gl.(6), erster Term mit rot ( B x v) = - rot ( v x B ) ersichtlich. Die gleiche Aussage gilt auch für das bekannte Röntgen-Zusatz-Feld H_zus = - v x D . Da die in diesem Zusammenhang vom Autor dieser Webseite "fokussierte" Autoren-Kategorie ebenfalls von TEIL-Ergebnissen (hier Teil-Transformationen) auf allgemein gültige Aussagen (hier allgemeine Transformationen) schließt (oder sogar generell in Frage stellen will), sind diesbezügliche Interpretations-Fehler artverwandt mit der im 1. Fehler-Grund skizzierten "Catt&Co-Autoren-Variante 1".

Die Mächtigkeit dieser dyadisch-tensoriellen Transformation wird ohne vertiefte Kenntnisse in der Vektoranalysis sofort auch im Bereich der MECHANIK ersichtlich. Wendet man diese Transformation auf den Impuls (m v ) an ( mit Masse m = konst), also m (v ∇) v , so folgen mit Gl.(7) unmittelbar die zentralen bekannten mechanischen Bewegungsterme (mechanische Zusatzkräfte) eines nicht-relativistisch und gleichförmig bewegten starren Körpers, vor allem auch die sog. "Scheinkräfte" Coriolis-Kraft und Zentrifugalkraft als Summanden einer gesamten Beschleunigungskraft F_Beschl:

F_Beschl = m dv / dt = m ∂v / ∂t + 2 m (ω x v) + m ω x (ω x r)  (8)

wobei der letzte Term in Gl.(8) - wenn der Vektor der Winkelgeschwindigkeit ω senkrecht auf Radius r - dem bekannten Spezialfall der Zentrifugalkraft  "m w² r" entspricht.

Bei variablen Massen dm/dt (z.B. Raketen etc) folgen aus dem
allgemeinen Impuls-Satz     d(Impuls)/dt = - grad(Energie) (9)
weitere, zeitabhängige Zusatz-Kräfte m = f ( t ):

d (m v) / dt = m dv / dt + v dm / dt     (9a).

Bei rein rotatorischen technischen Prozessen (Coil-Abwicklung in der Automobil-Industrie, Milch- oder Zucker-Zentrifugen, Video- oder Musik-Casetten etc) mit der Winkelgeschwindigkeit ω folgt alternativ zu (9a) aufgrund des dann variablen Massenträgheitsmomentes J_mech :

d (J_mech v) / dt = J_mech dv / dt + v dJ_mech / dt     (9b).

Die "klassische" Ableitung der Beschleunigungskraft-Terme in Gl.(8) kann direkt mit der Methode dyadisch-tensorieller Transformationen (v ∇) v verglichen werden: Dieser Vergleich ist auch eine sehr gute Übung, vektoranalytische Operationen mathematisch korrekt anzuwenden. Anregung für den physikalisch und mathematisch bewanderten Leser dieser Webseite: Versuchen Sie doch bitte einmal für die MECHANIK, die BESCHLEUNIGUNGSKRAFT inklusive CORIOLIS-KRAFT und ZENTRIFUGALKRAFT aus der (v ∇) v - TRANSFORMATION abzuleiten!

Die dyadisch-tensorielle Transformation auf die NEWTONsche Bewegungsgleichung angewendet führt mit Gl.(8) und Gl.(9) direkt auf die Grundform der NAVIER-STOKES-Gleichungen als zentraler Pfeiler der HYDRODYNAMIK. Aufgrund der Strukturidentität der der Wirbelstromgleichung in der Elektrodynamik zugrunde liegenden partiellen Differentialgleichungen 2. Ordnung parabolischen Typs und der durch diese dyadisch-tensorielle Transformation gewonnenen Zusatz-Felder sind auch noch weitergehende Analogie-Schlüsse auf die Wärmeleitungsgleichung der THERMODYNAMIK, die Diffusionsgleichung etc unmittelbar und relativ einfach möglich.

Bezüglich Fehl-Interpretation dyadischer Operationen auf der Basis von "Äpfel = Birnen"-Ungleichungen soll in diesem Zusammenhang auf aktuelle (v.a. auch Internet-) Publikationen hingewiesen werden. Diese angesprochenen, für einen erweiterten Lernprozeß durchaus "lehrreichen" Webseiten, wie man dyadische Operationen auf die Maxwell Gleichungen fehl-interpretieren kann, findet man unter diversen Webseiten, wenn man beim Suchmaschinen-Marktführer "Google" den Suchbegriff "Varianten Maxwell Gleichungen" eingibt.

(Anmerkung: Da die interdisziplinären Seiten des Autors Google-orientiert - auch bei Eingabe obigen Suchbegriffes - oft auf der ersten Trefferseite zu finden sind, brauchen Sie diese nicht anzuklicken ... da Sie dann sowie so wieder auf diesen Seiten "landen" werden)

3. Man sollte den Unterschied zwischen TRANSFORMATIONS-Gleichungen (mittransformierte Feldstärken E', H' etc siehe Punkt 2.) und durch Bewegung verursachte, messtechnisch verifizierte ZUSATZ-Felder vor Augen haben
... und dass Varianten beim Aufstellen von TRANSFORMATIONS-Gleichungen möglich sind. Einige Beispiele:

a) ZUSATZ-Feld 1: elektrische Lorentz-Feldstärke      E_zus =  v x B     (10a)
[1. Term von 4 möglichen aus (v ∇) B]
→ entsprechende TRANSFORMATIONS-Gleichung:        E' = E + E_zus      (10b)

b) ZUSATZ-Feld 2: magnetische Röntgen-Feldstärke H_zus = - v x D     (11a)
[1. Term von 4 möglichen aus (v ∇) D]
→ entsprechende TRANSFORMATIONS-Gleichung:        H' = H + H_zus     (11b)   
sowie restliche mögliche, fallabhängige Zusatz-Felder aus den Termen in Gl.(6) bzw. Gl.(7), z.B.:

c) ZUSATZ-Feld 3: Aus div D ≠ 0 resultiert eine sog. elektrische Rowland-Konvektionsstromdichte
J_zus = v ∙ ρ (12a) [2. Term von 4 möglichen aus (v ∇) D] etc:

c1) Transformationsgleichungen für FELD-Gleichungen und (oft vergessen) auch QUELLEN-Gleichungen verändern sich, wenn div D = ρ   ist. Wenn die bekannte, eingeschränkte Lorentz-Transformation (11a+b) gewählt wird, folgt in diesem Fall allerdings die Notwendigkeit einer zusätzlichen Transformation der Stromdichte J , was z.B. aus der 1. Maxwell Gleichung (Durchflutungsgesetz) unmittelbar einsichtig ist:
Aus    rot H - rot ( v x D) + v ∙ ρ = J + ∂ D / ∂ t - rot ( v x D) + v ∙ ρ     (1e)
folgt   rot H - rot ( v x D)  = rot ( H - v x D) = ( J - v ∙ ρ ) + ∂ D / ∂ t - rot ( v x D) + v ∙ ρ     (1f)    bzw.
rot H' = J_L + ∂ D / ∂ t - rot ( v x D) + v ∙ ρ  (1g) ... wobei J_L als transformierter Leiterstrom bezeichnet wird.
→ entsprechende Feld-Transformation:    H' = H + H_zus (11b) und Strom-Transformation: 
J' = J_L = J - v ∙ ρ (12b)

c2) Wenn die linke Seite der Gl.(1e) zu einem einzigen Term zusammengefaßt wird, könnte auch eine Feld-Transformation ohne Strom-Transformation abgeleitet werden:
rot H - rot ( v x D) - rot ( v²/c² H ) = rot [H (1 - v²/c²) - v x D ] = J + ∂ D / ∂ t - rot ( v x D) + v ∙ ρ     (1h)
→ entsprechende TRANSFORMATIONS-Gleichung:   H' = H + H_zus         (wie 11b)
→ aber entsprechendes ZUSATZ-Feld:         H_zus = - v x D - v²/c² H (11c) ≠ (11a)

Diese in a), b) und c) angegebenen ZUSATZ-Felder (als Untermenge aller in der (v ∇) X - Transformation beinhalteten Terme) sind nur 3 von 8 Möglichkeiten. Mit Berücksichtigung magnetischer und elektrischer Polarisationen sowie externer "interdisziplinärer" Stromquellen aus materialspezifischen Verknüpfungs-Gleichungen ergeben sich Beziehungen für weitere Zusatz-Felder. Diese erwähnten Lorentz-basierten Terme E_zus , H_zus etc beschreiben zwar viele Anwendungsfälle, sind aber allgemein gesehen nur eine Auswahl aller auftretenden Erscheinungen in der "Elektrodynamik bewegter Körper".
Bei kompletter Anwendung der (v ∇) X - Transformationen ergeben sich automatisch alle denkbaren, durch nicht-relativistische Bewegung verursachten ZUSATZ-Felder bzw. ZUSATZ-Kräfte in der ELEKTRODYNAMIK wie z.B.  elektrische Lorentz-Feldstärke, Rowland-Konvektionsströme, magnetische Röntgen-Feldstärken bzw. Röntgenströme etc. Diese gemessenen Zusatz-Felder/Ströme sind speziell auch wichtige Terme in der Untermenge "komplette Wirbelstromgleichung".